Event is FINISHED

第二夜 集合論入門 -- 「数える」と「集める」の数理

Description
「4回分オールナイト・チケット」の販売は前回で終了しました。
「4回分オールナイト・チケット」を購入済みの方も、申し込みは必要です。


今回のテーマは集合論です。

集合論は、19世紀後半に、ドイツの数学者ゲオルグ・カントールが創り出した数学の一分野です。それまでの数学が、微分や積分や無限級数や幾何学的図形や物理的な運動を対象にしていたのに対して、集合論が対象とするのは、より抽象的な「集合」そのものです。その意味では、集合論の登場は、現代数学の一つの特徴である「抽象化」の歴史的な第一歩といっていいと思います。

ただ、集合論の基本的考え方は、決して抽象的なものではありません。それは、極めて具体的な、「集める」「数える」といった操作を基礎にしています。集合とは、いろいろなものを集めてできたものに、一つのまとまりを与えることです。逆に、いろんなもの(これを「要素」といいます)は、この集合に「属する」と考えます。

集合について大事な特徴の一つは、我々は、集合の要素の数を数えることができると言うことです。こうした考えは自然なもので、小学生に初めて足し算を教えるときには、この集合のモデルを使っています。「赤い石が三つのかたまりと、青い石が五つのかたまりを、一緒にすると、石はいくつ? 数えてみましょう。」

問題は、こうした素朴な考えを進めていくと、あるところで、急に難しくなるということです。集合論の創始者のカントールが考えた一番難しい問題の一つは、次のようなものでした。答えられますか?

「線は、点を集めたもの。それでは、この線分の上に、点は何個あるのか数えてみよう。」

もちろん、線の上には、無限個の点が存在します。ただ、カントールは、驚くべきことを発見します。私たちに一番身近な無限の例は、1, 2, 3, 4, .... と無限続く自然数です。自然数は、無限個存在します。カントールは、線のように連続なもの(実数で表されます)の上の点の数は、自然数のなす無限より大きいことに気づきます。

無限は一つではないのです。実数の個数は、やはり無限なのですが、その無限は、自然数の個数の無限より大きいのです。

こうして、集合論は、主要に、無限と連続というものを数学的に考える数学として出発します。ただ、その前途は、平坦なものではありませんでした。

--------------------------------------
第二夜  集合論入門  5月29日開催
--------------------------------------

思考実験1:「無限に数え続けることは可能か考えてみよう」
思考実験2:「数えられないものがあるか考えてみよう」

● 無限と連続:カントールが考えたこと
● カントールが答えられなかったこと:「連続体仮説」
● ラッセルが見つけた集合論の矛盾
● ツェルメロ=フランケル:集合論の体系の整備
● 非カントール的集合論の発見
● 「理論」と「モデル」
● 数学の基礎を基礎付ける試みの発展
 ZFC, Topos Theory, Univalent Theory


--------------------------------------
第三夜   計算理論入門 6月開催予定
--------------------------------------

思考実験1:小学校で習った加減乗除の計算ルールを、それぞれの演算について、すべて文章で記述してみよう
思考実験2:「私の言うことはすべて嘘である」は正しい言明か考えてみよう

● 「計算」とは何か
● 「計算」のモデル:
 チューリング・マシンとチャーチのラムダ・カリキュラス
● ゲーデルの「不完全性定理」と「完全性定理」
● ゲンツェンの数論の無矛盾性証明
● 「計算可能性」の帰納関数論による定式化
● ドイッチェ:量子コンピュータの「計算可能性」
● 「計算の複雑性」の理論


--------------------------------------
第四夜  証明をする機械は可能か? 7月開催予定

--------------------------------------

● 数学でのコンピュータ利用のトピックス
 「四色問題」「例外リー群E8」
● 数学でのコンピュータ利用の必要性について
● 証明支援システム COQ
● マーティン=レフの「型の理論」
● ビョブドスキーの「ホモトピー・タイプ・セオリー」

Tue May 29, 2018
7:00 PM - 9:00 PM JST
Add to Calendar
Venue
スタジアムプレイス青山 8F ミスルト セミナールーム
Tickets
マルレク個人協賛会員 SOLD OUT ¥1,500
一般 SOLD OUT ¥3,000
オールナイト・チケット購入済みの方:(要申し込み)無料 FULL
Venue Address
東京都港区北青山2丁目9−5 Japan
Organizer
楽しい数学 -- MaruLabo 数理ナイト
140 Followers